Element algebric
 | Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici. |
În matematică, dacă L este o extindere de corp a lui K, atunci un element a din L se numește element algebric peste K, sau doar algebric peste K dacă există vreun polinom nenul g(x) cu coeficienți în K astfel încât g(a) = 0. Elementele lui L care nu sunt algebrice peste K se numesc transcendente peste K.
Aceste noțiuni generalizează numerele algebrice și numerele transcendente (unde este extinderea corpului este C/Q, C fiind corpul numerelor complexe iar Q fiind corpul numerelor raționale).
Exemple
[modificare | modificare sursă]- rădăcina pătrată a lui 2(d) este algebrică peste Q, deoarece este rădăcina polinomului g(x) = x2 − 2 ai cărui coeficienți sunt raționali.
- π este transcendent peste Q dar algebric peste corpul numerelor reale R: este rădăcina ecuației g(x) = x − π, a cărei coeficienți (1 și −π) sint ambii reali, dar nu a vreunui polinom cu coeficienți exclusiv raționali. (Definiția numerelor transcendente folosește C/Q, nu C/R.)
Proprietăți
[modificare | modificare sursă]Următoarele condiții sunt echivalente pentru un element a din L:
- a este algebric peste K,
- extinderea de corp K(a)/K are un grad finit, adică dimensiunea lui K(a) ca K-spațiu vectorial este finită (aici K(a) semnifică cel mai mic subcorp al lui L conținând K și a),
- K[a] = K(a), unde K[a] este mulțimea tuturor elementelor din L ceea ce se poate scrie sub forma g(a) cu polinomul g ai cărui coeficienți sunt în K.
Această caracterizare poate fi utilizată pentru a arăta că suma, diferența, produsul și câtul elementelor algebrice peste K sunt și ele algebrice peste K. Mulțimea tuturor elementelor din L care sunt algebrice peste K este un corp care se află între L și K.
Dacă a este algebric peste K, atunci există multe polinoame diferite de zero g(x) cu coeficienți în K astfel încât g(a) = 0. Totuși, există unul singur cu cel mai mic grad și cu coeficientul principal 1. Acesta este polinomul minimal al lui a și include multe proprietăți importante ale lui a.
Corpurile care nu permit niciun element algebric peste ele (cu excepția propriilor elemente) se numesc algebric închise. Corpul numerelor complexe este un exemplu.
Bibliografie
[modificare | modificare sursă]- Lang, Serge (), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (ed. Revised third), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
